Nùmeros Enteros

UNIDAD 1:

COMPETENCIA:

Efectuar operaciones con números enteros para representar y resolver problemas aritméticos que se presentan en la vida cotidiana, mediante el uso de sus propiedades; aplicando las condiciones aditivas, multiplicativas, de potencia y de raíz cuadrada y enésima, Resolver problemas de mínimo común multiplo y máximo común divisor.

CONTENIDO NUCLEAR:

Propiedades de la Suma y resta de números enteros

Propiedades de la Multiplicación y división de números enteros

Propiedades con exponentes y radicales de números enteros

Resolucion de problemas de minimo comun multiplo y maximo comun divisor

INTRODUCCIÓN:

Los Números Naturales es la primera estructura numérica que se inventó y consiste al conjunto de números que sirven para contar.
 Ejemplo: 1,2,3.....

Los números Enteros son los mismos naturales con signo positivo y negativo, teniendo al cero en el centro del conjunto.

Ejemplo:   .....-3,-2,-1,0,1,2,3.....

Cada número entero se puede representar en una Recta Numérica, en donde a partir del origen o cero, se colocan en orden los números positivos a la derecha y los negativos a la izquierda.

Para encontrar el valor absoluto se debe considerar que si el número  es positivo se deja con ese signo y si es negativo se le cambia el signo.
Ejemplo:
| 3 | = 3
|-3 |= 3

El valor absoluto de un número es su magnitud positiva y representa la distancia de dicho número desde el origen o cero de la recta numérica de números naturales.
Ejemplo:
| 3 | = 3 significa que la distancia de 3 al origen es de 3 unidades
|-3 |= 3  significa que la distancia de - 3 a origen es de 3 unidades

La suma o adición nos dice que dos números de igual signo se suman y cuando los números son de signo contrario se restan y se pone el signo del mayor de ellos.

Ejemplo:
 3 + 4 = 7
-3 + 4 = 1

Cuando el signo es positivo antes de un paréntesis no modifica a los números que están dentro y cuando el signo es negativo antes de un paréntesis, modifica los signos de todos y cada uno de ellos, siendo su resultado el inverso aditivo de ellos.

Ejemplo:
+ (3 + 4 -2)=  3 + 4 -2
- (3 + 4 -2)= - 3 - 4 + 2

La multiplicación de números obedece a la ley de los signos que nos dice que signos iguales dan más y signos opuestos dan menos.
 Ejemplo:
 (+4) (+2) = 8
 (- 4) (- 2) = 8
 (+4) (- 2) =  -8
 (- 4) (+2) = - 8

La división es la multiplicación de un número por el inverso multiplicativo del otro.
 Ejemplo:
3 / 2 = 3 (1/2)

Las propiedades de los números enteros nos dicen que es válido conmutar, asociar, distribuir, sumar el neutro aditivo de un número para que dé cero y multiplicar el inverso aditivo de un numero para que de uno, por lo que de estas cinco se obtienen 10 ya que se toma por separado a la suma y al producto.
Ejemplo:

Para la Suma:
Cerradura:              a + b = c   donde a,b,c son números
Conmutativo:          a + b = b + a
Asociativo:    a + (b + c) = (a + b) + c
Distributivo:     a (b + c) =  a b  + a c
Neutro:                   a + 0 = a
Inverso                    a - a = 0

Para el producto:
Cerradura:              a * b = c   donde a,b,c son números
Conmutativo:          a * b = b * a
Asociativo:    a * (b * c) = (a * b) * c
Distributivo:     a (b + c) =  a b  + a c
Neutro:                   a * 1 = a
Inverso                 a (1/a) = 1

La jerarquía de las operaciones para los números enteros nos dice que primero se realizan las operaciones entre paréntesis y entre estas las que estén en el centro del ejercicio, después se realizan las multiplicaciones y divisiones y por ultimo las sumas o restas.
Ejemplo:
                                      3 + 5 (- 4 + 3) + 2
primero el paréntesis      3 + 5 ( -1 ) + 2
después multiplicación     3  - 5  +2
por ultimo la suma                    0

Las operaciones mixtas con valor absoluto nos dice que a este se le da la importancia como si fuera una operación entre paréntesis, es decir deberá realizarse primero.
Ejemplo:
                                       3 + 5* | - 4+ 3 | + 2
primero valor absoluto    3 + 5* | - 1 |  +  2
después multiplicación      3 + 5   + 2
por ultimo la suma                    10

La potenciación nos dice que un factor se repite y multiplica un cierto número de veces, por tanto representa una forma de multiplicar mas rápido, se define en esta operación la base o número de la potencia o exponente.
Ejemplo:
2 *2 *2 *2 = 2⁴
    

Las propiedades de los exponentes nos dicen que:

Cuando se multiplican dos bases iguales se suman sus exponentes.
Ejemplo:

2⁴ * 2⁵ = 2⁹

Cuando un número tiene una potencia y se eleva a otra potencia entonces se multiplican sus exponentes.
Ejemplo:
(2⁴)³ = 2¹²

Cuando dos bases tienen la misma potencia se pueden multiplicar entre ellos con esa misma potencia.

Ejemplo:

2⁴ * 3⁴ = 6⁴

Cuando se tiene un cociente de una misma base con diferente potencia, se restan las potencias de la mayor a la menor.

Ejemplo:
2² / 2⁴ = 1 / 2²
 
Cuando se tiene una potencia de un cociente, es el cociente de sus potencias.

Ejemplo:

(2 / 3)³ = 2³ / 3³

Cuando se tiene una potencia cero, dicho número es igual a uno sin importar su base.

Ejemplo:

1234⁰= 1

Cuando se tiene una potencia unidad. dicho número es se puede escribir sin la potencia uno.

Ejemplo:

1234¹= 1234

Cuando una base tiene una potencia negativa, su respectiva potencia positiva es el reciproco.

Ejemplo:

1234¯¹= 1 / 1234

Las propiedades de los radicales nos dicen que:

Cuando un número es positivo y el radical es par la raíz existe y es positiva
Ejemplo:

Raíz 2n(+)>0

Cuando un número es negativo y el radical es par la raíz no existe
Ejemplo:

Raíz 2n(-)<0

Cuando una radical es n y el radicando es cero, su resultado será siempre cero.

Ejemplo:
Raíz n(0)= 0

Cuando un radical es impar y el radicando es positivo su resultado será siempre positivo.

Ejemplo:
Raíz 2n+1(+)>0   

Cuando un radical es impar y el radicando es negativo, su resultado será siempre negativo.

Ejemplo:
Raíz  2n+1(-)<0  

Los números primos son aquellos que se pueden dividir exactamente por ellos mismos y la unidad.
Ejemplo:
 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29....

Un número compuesto, si tiene más factores primos que lo dividan.
Ejemplo:
 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18.....

Todo número puede ser representado por sus factores primos.
 Ejemplo:
 240 = 2²*3*5²

El mínimo común múltiplo de dos o más números,  es el menor múltiplo común de dichos números.
Ejemplo:
de 5, 60  es  60

Los problemas de mínimo común múltiplo son medidas y guardan una relación directa.
Ejemplo:
Focos que encienden en 2, 6 , 8 son simultáneos en 24 seg.

El máximo común divisor de dos o más números es el el divisor más grande posible de todos ellos.
Ejemplo:
de 5, 60  es  5

Los problemas de máximo común divisor son tiempos, y guardan una relación inversa.
Ejemplo:
Listones de 2, 6, 8  se pueden cortar de 2 cm

Con base a los temas vistos realiza lo siguiente:

ACTIVIDAD 1:

Instrucciones:

Resuelva y entregue los siguientes problemas:

1.-Encuentre el mínimo común múltiplo (MCM) de 150 y 240

¿Qué propiedad de los números reales se aplica en la siguiente operación?

-3(4 + 5) = (-3)(4) + (-3)(5)

2.-Obtener el máximo común divisor de E1 y E2. Y el mínimo común múltiplo de 12, 18

18, 24

48, 132

30, 45

3.-Ordena los siguientes incisos según corresponda, los cuales pertenecen a la jerarquía de operaciones para simplificar valores.

a. Se efectúan las sumas y las restas en el orden de izquierda a derecha.

b. Se efectúa toda la operación que se encuentre entre paréntesis o arriba o debajo de un raya de fracción.

c. Se efectúan todas las operaciones de multiplicación y división en el orden en que se presentan de izquierda a derecha.

4.-Quieres comprar un reproductor de MP3 y en la tienda te ofrecen un plan de compra con "pagos chiquitos para pagar poquito". ¿Qué haces?

ACTIVIDAD 2:


1.-Resuelve la siguiente operación:

- 49 - { 5 - 18 ÷ 3²- [4² –(16 – 11)²+ 3 (80- 81)] }

2.-Identifica las expresiones numéricas que son correctas de la siguiente lista:

1. 0.9 > 0.6

2. 14·10 < 14.05

3· 0.30> 0·3

4· 27.84 = 27.48

5. 8.80 < 8.98

6. 18.11 >18.01

3.-Cuáles de los siguientes ejemplos indican operaciones cuyo resultado es indeterminado?

a. 0/8

b. 16/16

c. 6/8

d. 16/0

e. 0/ 5

f. 12/ 24
g. l/0

4. Los primeros 10 primos son:

a) 2,3,5,7,11,13,15,19,23,29
b) 2,3,5,9,11,13,17,19,23,29
c) 2,3,5,7,11,13,17,19,23,27
d) 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29

ACTIVIDAD 3:

1. Los primeros 10 compuestos son:

a) 2,4,6,7,8,10,12,14,15,16
b) 2,4,6,8,9,10,11,14,15,16
c) 2,4,6,8,9,10,12,13,15,16
d) 2,4,6,8,9,10,12,14,15,16

2. La descomposición factorial de 136 es:

a) -2³ * 17
b) 2² * 17
c) 2 * 17
d) 2³ * 17

3. El mínimo común múltiplo de 24, 28 y 36 es:

a) -204
b) 204
c) -24192
d) 24192

4. El máximo común divisor de 24, 28 y 36 es:

a) -4
b) 4
c) 8
d) -8